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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27008 - General Topology


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27008 - General Topology
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
9.0
Year:
2
Semester:
Annual
Subject type:
Compulsory
Module:
---

1. General information

Topology is a central area of mathematics that studies the properties of geometric objects that are preserved by continuous transformations. It is a requirement in many other areas such as geometry or analysis.

The objective of the course is to introduce the basic concepts and tools of general topology. The language used in the course is based on set theory. It is axiomatically developed from the abstract definition of topological space. The examples, especially metric spaces, are essential to understand the presented concepts.

This course should serve to improve students' abstract thinking. In addition, their concepts will be used in other subjects such as Geometry of Curves and Surfaces, Topology of Surfaces, Differentiable Manifolds or Functional Analysis.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • To know the concept of topology and which properties of metric spaces don't depend on the metric. To abstract this concept defining topologies in asbtract spaces. To relate topological spaces through continuous maps, and create new spaces from previous ones (subspaces, products, quotients...)
  • To know the basic topological spaces (that is, properties about separation, compactness, connectedness, invariants under topological equivalences or homeomorphisms) and their characterizations. To know whether they are hereditary or not, and if they are conserved by products or quotients.
  • To apply that knowledge to metric spaces -in particular euclidean spaces- knowing the topological properties of the most usual spaces in geometry (homogenous spaces, linear groups, manifolds...)

3. Syllabus

  1. Metric spaces.
  2. Topological spaces.
  3. Position of a point relative to a subset.
  4. Bases.
  5. Countable axioms.
  6. Separation axioms.
  7. Products and quotients.
  8. Compact spaces.
  9. Connectivity.

4. Academic activities

Master classes: 60 hours.
Problem solving: 30 hours.
Project: 40 hours.
Study: 90 hours.
Assessment tests: 5 hours.

5. Assessment system

The final grade will be a weighted average between the evaluation throughout the course and the exams. There will be an exam at the end of the first semester and another one at the end of the second semester. In addition, the student can repeat the first semester exam at the end of the second.

The weight of the evaluation during the course will be 20%. When the student obtains a 4 or more in each of the partial exams, her grade will be

0.2 EC + 0.40 E1 + 0.40 E2,

where EC is the continuous evaluation, E1 and E2 are the marks of the first and second semester exams respectively. Otherwise, the student will not pass in the first call, and her grade will be the minimum between 4 and the result of the previous formula.

In the second call there will be a single exam. For students who take this call, the mark will be

0.2 EC + 0.8 EF,

where EF is the exam grade for the second call, which must be greater than or equal to 4. Otherwise, the student will not pass in this call, and the grade will be the minimum between 4 and the resulting grade from the above formula.

Regardless of the above, according to current regulations, the student always has the right to be evaluated only by a global test.


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27008 - Topología general


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27008 - Topología general
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
9.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Anual
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

La topología se encarga del estudio de las propiedades de los objetos geométricos que se preservan por transformaciones continuas. Es un área central dentro de las matemáticas. Conocer sus fundamentos es un requisito en muchas otras áreas como la geometría o el análisis matemático.

El objetivo de la asignatura es introducir los conceptos y herramientas básicos de la topología general. El lenguaje que se usa en la asignatura está basado en la teoría de conjuntos, siendo un ejemplo de teoría axiomática, es decir, se desarrolla a partir de la definición abstracta de espacio topológico. Los ejemplos, especialmente los espacios métricos, son fundamentales para comprender los conceptos introducidos.

Esta asignatura debe servir para mejorar el pensamiento abstracto de los alumnos. Además sus conceptos se utilizarán en otras asignaturas como pueden ser Geometría de Curvas y Superficies, Topología de Superficies, Variedades Diferenciables o Análisis Funcional.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Conocer el concepto de topología y qué propiedades de espacios métricos no dependen de la métrica, abstraer el concepto definiendo topologías en conjuntos abstractos. Relacionar espacios topológicos a través de aplicaciones continuas, crear nuevos espacios a partir de los dados (subespacios, productos, cocientes...)
  • Conocer los invariantes topológicos básicos (es decir, propiedades sobre separación, compacidad y conexión, invariantes bajo equivalencias topológicas u homeomorfismos) y su caracterización. Saber si tales invariantes son o no hereditarios y si se conservan o no en productos y cocientes.
  • Aplicar tales conocimientos a espacios métricos y en particular a espacios euclídeos, conociendo las propiedades topológicas de los espacios más usuales en geometría (espacios homogéneos, grupos lineales, variedades topológicas...).

3. Programa de la asignatura

  1. Espacios métricos.
  2. Espacios topológicos.
  3. Posición de un punto con respecto a un conjunto.
  4. Bases.
  5. Axiomas de numerabilidad.
  6. Axiomas de separación.
  7. Productos y cocientes.
  8. Compacidad.
  9. Espacios conexos.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 60 horas.
Resolución de problemas y casos: 30 horas.
Trabajos docentes: 40 horas.
Estudio: 90 horas.
Pruebas de evaluación: 5 horas.

5. Sistema de evaluación

La calificación final se obtendrá mediante una ponderación entre la evaluación a lo largo del curso y los exámenes. Habrá un examen al final de primer cuatrimestre y otro al final del segundo. Además, el alumno podrá repetir el examen del primer cuatrimestre al final del segundo.

El peso de la evaluación durante el curso será de un 20%. Cuando el estudiante obtenga un 4 o más en cada uno de los exámenes parciales su calificación será

0.2 EC + 0.40 E1 + 0.40 E2,

donde EC es la evaluación continua, E1 y E2 son las notas de los exámenes del primer y segundo cuatrimestre respectivamente. Si no es el caso, el alumno no habrá superado la asignatura en la primera convocatoria, y su nota será el mínimo entre 4 y la nota resultante de la fórmula anterior.

En la segunda convocatoria habrá un único examen. Para los alumnos que se presenten a esta convocatoria la nota será

0.2 EC + 0.8 EF,

donde EF es la nota del examen de la segunda convocatoria, que deberá ser mayor o igual a 4. Si no es el caso, el alumno no habrá superado la asignatura en esta convocatoria, y su nota será el mínimo entre 4 y la nota resultante de la fórmula anterior.

Independientemente de lo anterior, según la normativa vigente, el alumno siempre tiene derecho a evaluarse únicamente mediante una prueba global.